Bien entendu afin de déterminer de quelles manières optimiser le vol d’un avion en papier il est indispensable de réaliser plusieurs lancers, avec différents types d’avions afin d’en étudier les performances… C’est donc ce que nous avons fait et allons vous présenter ici…
Tout d’abord nous avons dû choisir combien d’avions tester; nous avons opté pour trois avions différents.
Les différences de nos avions se situent au niveau de la forme et de l’aire de la voilure. Le poids des trois avions est quant à lui toujours le même car ces derniers sont tous réalisés à partir d’une feuille A4 non découpée ou modifiée (pas d’ajout de scotch ni quoi que ce soit du même genre. ).
L’avion effilé…
Cet avion est, comme on peut le constater, très long et fin, d’où son nom. Il est long de 29,7cm et ses ailes ont une surface d’environ 172,5cm2.
Nous avons choisi cet avion car c’est en quelque sorte l’avion en papier type, celui que l’on pli pour les plus petits, certainement l’un des plus élémentaires, celui de notre problème d’origine, en bref l’incontournable de toutes études sur les avions en papiers.
L’avion moyen…
Un avion quelque peu étonnant et beaucoup moins basique. Bien sûr sa forme peut sembler un peu tirée par les cheveux, seulement la raison qui nous a poussés à choisir ce modèle l’est beaucoup moins: comme vous pouvez le constater cet avion possède aussi bien des ailes larges qu’une pointe fine et longue…
Ainsi cet avion est le parfait entre-deux de ce TPE. Reste à voir si la combinaison de ces deux caractéristiques est concluante ou non. En ce qui concerne les mesures de cet avion il est long de 22,5cm pour une voilure de 135,925cm2.
L’avion large…
Pour finir un avion presque aussi répandu que l’avion effilé, l’avion large. Cet avion est peu long: 15cm de long , avec une voilure de 100cm2. En effet l’aire de la voilure est inférieure à celle des deux autres avions mais l’avion large est beaucoup moins long…
Cet avion est en quelque sorte l’avion opposé au modèle effilé, c’est pourquoi nous l’avons choisi pour notre étude.
Les hypothèses…
Précédemment nous avons étudié les principes du vol d’un avion en papier ainsi que les nombreuses contraintes à prendre en compte. Nous allons donc, en nous appuyant sur ces connaissances, émettre quelques hypothèses quant au vol des avions ci-dessus.
L’avion effilé devrait voler très vite, et aller assez loin, grâce à sa pointe et à sa forme. Il est probable que l’air glisse facilement autour de lui.
L’avion large grâce à ses ailes larges devrait en théorie planer un peu mais ne pas aller très loin.
Enfin l’avion moyen pourrait:
-soit planer assez loin grâce à une pénétration dans l’air facilitée par sa pointe fine.
-soit être un bel échec si la combinaisons des deux caractéristiques ne fonctionne pas.
Les lancers…
Nous avons commencé par réaliser des lancers d’une chaise, et du sol pour chaque avion. Nous sommes partis sur une base de 15 lancers par expérience, soit 30 lancers par avion au total. Nous avons aussi décidé de mesurer le temps de vol de chaque avion.
Il s’est avéré que les conditions météorologiques étaient assez humides, ce qui entrainait une légère dégradation des avions au fil des lancers…
Les résultats de la chaise ou du sol étant assez proches et les lancers de la chaise ne permettant pas réellement une étude approfondie nous avons choisi d’abandonner cette idée.
Le temps de vol, très court (à peine plus d’une seconde) ne méritait pas d’être pris en compte non plus car trop imprécis et réflexion faite pas vraiment utile à l’exploitation des résultats.
Nous nous retrouvions donc avec des échantillons de 15 lancers par avion, par un temps humide et sans grande habitude du lanceur d’avions, en bref nous nous retrouvions avec rien du tout.
Après avoir constaté la réalité peu glorieuse de nos expériences nous avons pris la décision de pousser les meubles de l’un de nos salons et de réaliser les lancers en intérieur. De plus il fût décidé de plier deux avions de chaque modèle afin de réaliser la moitié des lancers avec l’un, et l’autre moitié avec l’autre, limitant ainsi la dégradation des avions et donc l’imprécision des lancers vers la fin des expériences. Enfin nous avons choisi une base de 50 lancers par avion ce qui nous semblait déjà plus exploitable et représentatif.
A première vue l’avion effilé était le plus performant. Venait ensuite l’avion large puis l’avion moyen. Seulement, un « à priori » sur 50 lancers ce n’est pas grand chose. D’où la décision de réaliser une étude à l’aide de probabilités afin d’avoir une réelle idée des performances de nos avions.
L’outil que nous avons choisi est une courbe de Gauss réalisée à partir de l’illustration graphique d’une loi mathématique appelée loi normale.
La courbe de Gauss, explications…
La loi normale étant l’une des lois de probabilités les plus adaptées pour modéliser des phénomènes naturels issus de plusieurs événements aléatoires, c’est sur cette loi que s’est porté notre choix pour l’interprétation des résultats.
La loi normale dépend de deux paramètres:
-La moyenne, c’est à dire la valeur « centrale » des résultats possibles.
-L’écart type qui renseigne sur la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Plus ce paramètre est faible plus les valeurs proches de la moyenne auront une forte probabilité d’apparaître.
Voici un petit graphique qui explique bien les relations entre moyenne et écart type:
On a : u qui correspond à la moyenne, d qui correspond à l’écart type, n correspond au nombre d’individus total dans l’échantillon et n(x) correspond au nombre d’individus pour lesquels la valeur analysée a la valeur x.
La courbe de la loi normale est symétrique de part et d’autre de la moyenne comme le montre ce graphique:
De plus on sait que 68,2% des résultats se situent dans l’intervalle [moyenne-écart-type; moyenne+écart-type].
L’intervalle ci-dessus regroupe 68,2% des résultats,mais grâce à un second intervalle (du même type) on peut regrouper 80% des résultats. Ainsi 80% des résultats se situeront dans l’intervalle [moyenne-1,282*écart-type; moyenne+1,282*écart-type], (soit 40% de chaque côté de la moyenne).
La courbe de Gauss, qui est l’illustration graphique de la loi normale, est dite densité de probabilité de la loi normale, c’est-à-dire que l’aire sous la courbe vaut 1.
Nous ne nous servirons que de l’illustration graphique de la loi normale dans le cadre de cette étude et ce à l’aide d’un logiciel de calcul type Excel. La formule de la loi normale pouvant servir à l’élaboration de la courbe de Gauss ne correspondant pas à un niveau de première S.
Exploitation des résultats…
A…. Grâce à l’application d’une gaussienne.
L’avion effilé…
Nous avons donc rentré les résultats des 50 lancers dans le tableur. Puis, afin de pouvoir calculer l’écart-type nous les avons trié par ordre croissant.
La moyenne et l’écart type calculés, nous avons déterminé le nombre correspondant à chaque lancer pour la construction de la courbe de Gauss à l’aide de l’outil fonction « loi normale. »
Une fois cela fait pour les 50 lancers nous avons réalisé un graphique de dispersion avec nos valeurs.
Voici ce que nous avons obtenu:
La forme de la courbe obtenue correspond bien à l’allure de la courbe de la loi normale, ce qui permet de penser que cette courbe est juste, ou du moins cohérente.
La moyenne se situe à 232,8cm, ce qui correspond au sommet de notre courbe.
L’écart type étant de 31,3279cm environ nous pouvons déterminer l’intervalle dans lequel un avion effilé, lancé à l’aide de notre lanceur, viendra se poser à 80% de chance. Pour cela on applique : [moyenne-1,282*écart-type; moyenne+1,282*écart-type], ce qui nous donne dans le cas de l’avion effilé: [192;272]
Cela signifie que 80% des avions des avions se poseront probablement entre 192cm et 272cm. Cependant on remarque aisément par l’étude de la courbe de Gauss obtenue au dessus que plus les valeurs sont proches de la moyenne plus la probabilité de les obtenir est forte, c’est une des caractéristiques de la courbe de la loi normale que nous avons explicitée un peu plus tôt.
En effet il y a environ 1,3 chance sur 100, ou 13 chances sur 1000 que notre avion se pose exactement à 232cm, contre 7 chances sur 1000 qu’il se pose à 200cm exactement.
68,2% des avions se poseront quant à eux entre 201cm et 264cm.
Cette courbe peut être mise en relation avec un histogramme représentant le nombre d’avions ayant atterris dans un intervalle particulier. Nos intervalles vont de 10cm en 10cm, cela permettant d’avoir un nombre représentatif d’avions dans chaque intervalle. Si les bornes de nos intervalles sont plus éloignées il y a trop d’avion par intervalle et cela n’est plus exploitable. Inversement si les intervalles sont plus petits ils ne regroupent plus assez de valeurs…
On remarque que l’histogramme est en accord avec l’allure de la courbe: les valeurs sont centrées autour d’une valeur type correspondant à la moyenne. Ici l’intervalle autour duquel les valeurs sont centrées est l’intervalle [230;240], la moyenne étant de 232,8, ce résultat est parfaitement cohérent.
On peut superposer les graphiques d’ailleurs afin de se représenter plus facilement à quel point leurs allures sont similaires.
L’avion moyen…
Pour l’étude de la performance de ce second avion nous avons réalisé les mêmes manipulations à l’aide du tableur, et avons obtenu comme vous pourrez le constater des résultats assez différents.
La différence de résultats confirme toute la théorie des flux d’air, des forces et par la même occasion de l’importance d’un profil aérodynamique pour optimiser le vol d’un avion en papier. Restera bien sûr lors de la comparaison des différentes performances à définir quel profil est le plus performant et à revenir quelque peu sur la théorie afin de tenter d’expliquer cela. Mais ce sera pour plus tard.
Voici donc notre courbe obtenue grâce à l’exploitation de la loi normale:
On retrouve bel et bien l’allure caractéristique de la courbe de la loi normale une fois encore.
Pour l’avion moyen la moyenne est à 155,6cm, ce que l’on peut lire sur le graphique. L’écart type est de environ 29,24cm. Un écart type plus petit signifie que l’avion est plus régulier dans son vol. En effet pour l’avion effilé l’écart type était de 31,3279cm, l’avion moyen est donc plus régulier.
D’après les formules vues précédemment on obtient 80% des avions qui se poseront probablement entre 118cm et 193cm, 68,2% des avions iront se poser entre 126cm et 184cm.
L’histogramme correspondant ici a une allure sensiblement proche de celle de la courbe ci-dessus:
Cependant on remarquera que cette fois-ci le sommet de la courbe ne correspond pas parfaitement à l’intervalle regroupant le plus grand nombre d’avions. En effet l’intervalle regroupant le plus de lancers est l’intervalle [170;180] et la moyenne est à 155,6cm, c’est à dire dans un autre intervalle que celui-ci.
L’avion large…
Une fois les résultats de cet avion étudiés nous pourrons réaliser les comparaisons qui s’imposent afin de bien déterminer quel avion est le plus performant pour en déduire le profil idéal pour l’optimisation du vol d’un avion en papier…
Alors voici la courbe obtenue grâce aux résultats:
On retrouve encore une fois cette allure semblable à celle de la courbe de la loi normale, seulement une petite cassure au niveau de 220 et 230. On peut constater aussi que cette courbe-ci est bien moins étalée que les deux autres : ce qui s’explique par son très petit écart type.
En effet l’écart type est de environ 27,1cm. C’est très peu comparé aux autres qui étaient très proches de 30cm (voir parfois au dessus); pour une moyenne à 158,84cm.
Cela se ressent dans les intervalles à 80% et à 68,2% :
Un avion a 80% de chances de se poser dans l’intervalle [124;193] et 68,2% de se poser dans l’intervalle [128;186]!
Grâce à l’histogramme de l’avion large on va pouvoir constater que en effet les lancers sont très centrés au niveau de la moyenne. Cela signifie que l’avion a un vol très constant et fiable. D’ailleurs ce fût plutôt impressionnant lors de la réalisation des expériences. En effet il est arrivé que l’avion atterrissent exactement à 160cm trois fois d’affilée !
Comme on peut le constater ici l’intervalle [160;170] regroupe énormément d’avions !
Pour y voir plus clair nous allons superposer les graphiques:
Le haut de la courbe est quelque peu décalé mais l’allure reste très semblable.
Comparaison…
Nous avons donc étudié les résultats des lancers de nos différents avions, et ce bien entendu dans le but de les comparer de façon efficace.
Lors de notre comparaison nous choisirons l’intervalle dans lequel un avion à 80% de chances de se poser. Nous avons:
-avion effilé: [192;272]
-avion moyen: [118;193]
-avion large: [124;193]
Le résultat est on ne peut plus clair: la valeur de la première borne de l’intervalle de l’avion effilé est la même que celle de la dernière borne des intervalles des autres avion (à 1cm près). L’avion effilé est donc bien le plus performant, en terme de distance.
Cependant on remarquera que l’écart des bornes, qui renseigne sur la constance du vol de l’avion, montre que l’avion le plus fiable n’est pas vraiment l’avion effilé. En effet il y a 80cm entre chaque borne de l’intervalle de l’avion effilé, 75cm pour l’avion moyen et seulement 69 dans le cas de l’avion large.
Concrètement si il fallait parier sur la distance d’atterrissage précise de l’un des avions dans chaque intervalle, mieux vaudrait parier sur l’avion large. L’écart d’une borne à l’autre étant moins grand on aurait plus de chance de tomber juste.
Cependant la question n’étant pas « Quel type d’avion a le vol le plus constant? » mais « Comment optimiser le vol d’un avion en papier? » le fait que l’avion effilé soit légèrement moins constant dans son vol que les autres n’empêche pas qu’il soit le plus performant.
Ainsi, suite à nos expériences et à l’étude des résultats nous pouvons conclure que l’avion effilé est le plus performant.
B… Grâce à la mécanique des fluides.
Maintenant que les résultats ont été clairement exploités et mis en relief grâce aux courbes de Gauss et donc grâce à une certaine dimension mathématique, il ne nous reste plus qu’à tenter d’expliquer pourquoi les résultats sont tels qu’ils sont en nous appuyant sur la théorie des fluides et des forces.
L’importance de l’angle d’attaque…
Lors de nos premiers lancers, nous avons pu vérifier un phénomène intéressant quant à l’angle d’attaque. Dans l’article sur les forces nous avions précisé que pour une portance maximale cet angle devait être de 15°, avant d’atteindre cet angle la portance devait être de plus en plus grande jusqu’à chuter en flèche une fois cette mesure dépassée.
Cependant lors de nos expériences, la force de poussée n’étant pas aussi puissante que celle conférée, par exemple, par un bras, cet angle s’est révélé indispensable au vol de l’avion. En effet, si nous augmentions ou diminuions l’angle d’attaque, nos avions volaient peu, voire pas du tout. Nous n’obtenions par conséquent que des résultats qui pouvaient sembler aberrants, comme 10cm ou d’autres mesures semblables.
Ainsi nous avons pu conclure que cet angle n’était pas seulement une question d’optimisation du vol mais surtout une condition nécessaire au vol de nos avions en papier. Nous avons donc réglé notre lanceur sur cet angle et avons continué nos lancers.
L’importance d’un profil aérodynamique…
Tout d’abord qu’est-ce qu’un profil aérodynamique ?
Un profil aérodynamique est un profil que l’on peut dire « respectueux des écoulements de l’air ». Pour qu’un profil soit aérodynamique il faut que l’air s’écoule autour sans discontinuer. Ainsi la portance est optimisée et la traînée réduite le plus possible.
Qui plus est, selon les principes de la mécanique des fluides, plus la surface d’un objet pouvant créer une opposition avec l’écoulement laminaire de l’air est grande, plus cet objet subira un freinage à la rencontre de l’air.On sait notamment que des ailes larges vont créer une séparation de l’air qui ne glissera plus idéalement autour de l’avion et entraînera une perte de portance car il n’y aura plus assez de fluides pour compenser le poids de l’avion.
Cela signifie que des ailes larges, des replis qui dépassent de la ligne de l’aile ou tout autres obstacles au glissement du fluide qu’est l’air vont créer une zone de freinage.
Ainsi un avion tel que l’avion effilé, très fin, épuré, va permettre un certain respect de l’écoulement laminaire et subira donc peu de résistance de la part de l’air.
Qui plus est, l’avion effilé est pointu et a donc une entrée dans l’air rapide et facilitée : c’est pourquoi il va loin.
De plus la longueur de ses ailes primant sur leur largeur, la portance, créée par les écoulements facilités des fluides autour de l’avion, est grande.
Une portance conséquente, une traînée minimisée et une bonne entrée dans l’air permettent à l’avion effilé d’être de loin le plus performant de tous.
Le profil de l’avion large ,quant à lui, n’est pas vraiment fait pour aller vite ou aller très loin. Comme son nom l’indique il est très large. Son entrée dans l’air n’est donc pas très facilitée ne lui permettant pas de partir avec une vitesse aussi grande que l’avion effilé. Qui plus est le fuselage de cet avion (partie tenue lors du lancement) est assez large. Cela crée certainement un freinage plus important que dans le cas de l’avion effilé où le fuselage est extrêmement fin.
Si les ailes de ce second avion sont larges, leur surface est légèrement moins grande que celle des ailes de l’avion effilé, la voilure de l’avion large étant de 100cm2 et celle de l’avion effilé de 172,5cm2. Il n’y a donc rien pour compenser la résistance de l’air avec cet avion qui va donc être un peu moins performant.
L’avion moyen était la grande question lors des expériences: allait-il additionner les bonnes caractéristiques de vol de l’avion large et de l’avion effilé ou plutôt l’ensemble de leurs défauts ?
Et bien il semblerait qu’il additionne seulement les défauts.
Cet avion est en effet le moins performant des trois. On peut expliquer cela par un profil trop complexe qui empêche le glissement fluide de l’air autour de l’avion et créer une forte résistance de l’air. Cette résistance est un obstacle à l’évolution de l’avion dans l’air lors du lancer mais est aussi à l’origine d’une force de traînée plus grande que dans le cas des deux autres avions.
De plus les ailes trop petites et courtes ne permettent pas une influence suffisante des fluides et entraînent une portance moins grande que dans le cas de l’avion effilé.
L’importance de l’équilibre…
Les avions en papier ont un certain centre de gravité qui reste constant tout au long de leur vol (contrairement aux avions réels qui peuvent le faire varier comme l’explique l’article bonus sur la comparaison avion en papier et avion réel). Lors du pliage de l’avion il va donc falloir veiller à ce que ce centre de gravité soit positionné idéalement.
On sait que si un avion est trop léger à l’avant il aura tendance à décrocher et à monter puis descendre afin de remonter et de redescendre et ainsi de suite. En revanche si il est trop lourd à l’avant il chutera en piqué vers le sol.
L’avion effilé et l’avion large n’ont aucun de ces problèmes: ils sont donc très bien équilibrés. Néanmoins l’avion moyen ne vole pas droit. Il a tendance soit à décrocher, soit à pencher d’un côté ou de l’autre avant d’atterrir. On peut donc penser que cet avion est trop léger à l’avant… En effet ses ailes ne débutent pas à la base de son nez mais un peu plus loin et sont donc plutôt centrées sur l’arrière, créant un déséquilibre.
Un autre point de l’équilibre est le positionnement du centre de gravité par rapport au point neutre de l’avion. Le point neutre de l’avion est situé à la moitié de la distance du nez à la queue pour nos trois avions car ils ont tous des ailes qui ont une forme similaire à celle d’ailes delta. Pour un équilibrage parfait il faut que le centre de gravité soit un peu en avant du point neutre.
Afin de déterminer le centre de gravité approximatif de nos avions nous avons tenté de les mettre en équilibre sur un pic. Pour l’avion effilé et l’avion large le point neutre (situé au milieu de la ligne de séparation symétrique de l’avion) étant quelque peu en arrière du centre de gravité, pour l’avion moyen le point neutre était nettement en avant du centre de gravité.
Conclusion des expériences…
Grâce à l’explication théorique des performances de nos avions il est possible de constater que les résultats obtenus sont plutôt logiques, et cohérents.
Le fait que les résultats puissent être expliqués et soient si cohérents permet de constater que même si le lanceur ne lance pas les avions très fort et que ces derniers ne vont donc pas très très loin, comparé à des lancers à la main par exemple, les résultats sont tout de même valides à leur échelle.
au début puis Openscad
ensuite, que nous avons ensuite imprimés avec une imprimante 3D.
Avion en papier 